INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES1.1 INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESLa Investigación de Operaciones se ocupa de la resolución de problemas relacionados con la conducción y coordinación de las operaciones o actividades dentro de una organización. Su ámbito de aplicación es muy amplio, aplicándose a problemas de fabricación, transporte, construcción, telecomunicaciones, planificación y gestión financiera, ciencias de la salud, servicios públicos, etc. En general, puede aplicarse en todos los problemas relacionados con la gestión, la planificación y el diseño.La Investigación de Operaciones incluye un conjunto muy amplio de técnicas orientadas a proporcionar una ayuda cuantitativa a la toma de decisiones. El método empleado es el método científico, y las técnicas que se utilizan son, en buena medida, técnicas matemáticas.1.2CONCEPTO DE MODELO Y SUS ELEMENTOSUn modelo matemático es una idealización abstracta de un problema, lo cual mayormente nos lleva a aproximaciones y suposiciones. Por lo que debemos cuidar que el modelo siempre sea una representación valida del problema.La valides de un modelo requiere que exista una alta correlación entre las predicciones del modelo y la realidad; para lograr esto es importante hacer un número considerable de pruebas al modelo y caso de ser necesario, las pertinentes modificaciones. Aun cuando la validación del modelo se incluyera al final de este documento, la mayor parte de la validación del modelo se hace durante la etapa de la construcción del modelo.Un modelo matemático es una idealización abstracta de un problema, lo cual mayormente nos lleva a aproximaciones y suposiciones. Por lo que debemos cuidar que el modelo siempre sea una representación valida del problema.La valides de un modelo requiere que exista una alta correlación entre las predicciones del modelo y la realidad; para lograr esto es importante hacer un número considerable de pruebas al modelo y caso de ser necesario, las pertinentes modificaciones. Aun cuando la validación del modelo se incluyera al final de este documento, la mayor parte de la validación del modelo se hace durante la etapa de la construcción del modelo.1.3 CARACTERÍSTICAS DE LOS MODELOS1.4 CLASIFICACIÓN Y CONSTRUCCIÓN DE MODELOSMODELOS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONESDeterminísticosI.Programación matemática- Programación lineal- Programación entera- Programación dinámica- Programación no lineal- Programación multiobjetivoll.Modelos de transportelll.Modelos de redes.El modelo, usualmente matemático, debe ser formulado de tal manera que exprese la esencia del problema:El modelo matemático está basado en ecuaciones y desigualdades establecidas en términos de variables, las cuales expresan la esencia del problema a resolver; las cuales son definidas en función del modelo del problema.Después de localizar las variables en función del problema, se procede a determinar matemáticamente las dos partes que constituyen el modelo:- La medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos y generalmente es una función llamada función objetivo.- Las limitantes del problema, llamadas restricciones, que son un conjunto de igualdades o desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo.2.1 PROBLEMA GENERALModelo de Inventario GeneralLa naturaleza del problema del inventario consiste en hacer y recibir pedidos de determinados volúmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Desde este punto de vista, una política de inventario responde a las dos siguientes preguntas:1.- ¿Cuanto se debe ordenar?2.- ¿Cuanto se deben colocar los pedidos?Todos estos costos se deben expresar en términos del lote económico deseado y del tiempo entre los pedidos.1.- El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante, o se puede ofrecer con un descuento que depende del volumen del pedido.2.- El costo de preparación representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido.3.- El costo de almacenamiento representa el costo de mantener suficientes existencias en el inventario. Incluye el interés sobre el capital, así como el costo de mantenimiento y manejo.4.- El costo de faltante es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, así como el costo más subjetivo de la pérdida de la buena voluntad de los clientes.La respuesta a la segunda pregunta (¿Cuándo se deben colocar los pedidos?), depende del tipo de sistemas de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una revisión periódica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el sistema se basa en una revisión continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto de reorden.Los modelos de inventario en este capitulo abarcan dos tipos de modelos deterministicos: estático y dinámico. Los modelos estáticos tienen una demanda constante a lo largo del tiempo. En los modelos dinámicos, la demanda varía. 2.2 CANTIDAD ECONÓMICA DE PEDIDOModelos estáticos de ate económico (EOQ)Esta sección presenta tres variaciones del modelo de cantidad de lote económico con una demanda estática.Modelo EOQ clásicaEl modelo El modelo de inventarios más sencillo implica un índice de la demanda constante con un reabastecimiento instantáneo de pedidos y sin faltante. Digamos queY = Cantidad del pedido (número de unidades)D = Índice de la demanda (unidades por tiempo de unidades)k.o. = Duración del ciclo de pedidos (unidades de tiempo)Utilizando estas definiciones, el nivel del inventario sigue el patrón representado en la figura 11-1. Se hace un pedido de un volumen de y unidades y se recibe al instante cuando el nivel del inventario es cero. De esta manera, las existencias se agotan de manera uniforme según el índice de la demanda constante D. El ciclo de pedidos para este patrón es: El nivel resultante del inventario promedio se da comoNivel del inventario promedio = y/2 unidadesEl modelo del costo requiere dos parámetros de costo.K = Costos de preparación asociado con la colocación de un pedido (dólares por pedido)H = Costo de almacenamiento (dólares por unidad del inventario por tiempo de unidad)Por consiguiente, el costo total por tiempo de unidad (CTU) se calcula como CTU (y) = Costo de preparación por tiempo de unidad + Costo de almacenamiento por tiempo de unidadEl valor óptico de la cantidad y del pedido se determina minimizando CTU (y) respecto a y. Suponiendo que y es continua, una condición necesaria para encontrar el valor óptico de y esLa condición tambien es suficiente debido a que CTU (y) es convexa. La solución de la ecuación nos da el EOQ y* comoDe hecho, no es necesario recibir un nuevo pedido en el instante en que se coloca, como lo sugiere la exposición anterior. En su lugar, puede ocurrir un tiempo de entrega positivo, L entre el momento en el que se hace un pedido y el momento en el que se recibe, como lo demuestra laCuando n es el entero más grande no excediendo L/ t*o . Este resultado se justifica debido a que después de n ciclos de t*o cada uno, la situación del inventario actúa como si el intervalo entre hacer un pedido y recibir otro el Le. Por consiguiente, el punto del nuevo pedido ocurre en LeD unidades y la política del inventario se puede volver a exponer comoOrdene la cantidad y* cuando el nivel del inventario desciende a LeD unidades2.3 CASOS ESPÉCIALES (FALTANTES, VENTAS, PÉRDIDAS Y PRODUCCIÓN FINITA)EOQ con descuentos por cantidadEste modelo es idéntico al EOQ clásico, excepto que el articulo en el inventario se puede comprar con un descuento si el volumen de pedido y, excede un limite dado q, es decir el precio de compra por unidad, c, se da comoLa función de costo CTU (y) empieza a la izquierda con CTU1 (y) y desciende a CTU2(y) en el punto de descuento por cantidad q. La Figura 11-3 revela que la determinación de la cantidad óptica del lote económico y* depende de donde se encuentra el punto de descuento por cantidad q respecto a las zonas I,II y III delineada por (0,ym ), (ym Q) y (Q, infinito), respectivamente.El valor de Q (> ym ) se determina de la ecuación3.1 MODELOS DE SIMULACIÓNModelo de simulaciónUn enfoque alternativo para modelar un sistema complejo es la simulación. El modelo por simulación es la segunda mejor opción para observar un sistema real. Difiere de modelado matemático en que no es necesario exponer de manera explicita la relación entre la entrada y la salida. En vez de ello, desglosa el sistema real en (pequeños) módulos y después imita el comportamiento real del sistema utilizando relaciones lógicas para unir los módulos. Empezando con el modulo de entrada, los cálculos de simulación avanzan entre los módulos apropiados hasta que se obtiene el resultado deseado.Los cálculos de simulación, aunque por lo común son simples, son excesivos. Por consiguiente es impensable de ejecutar un modelo de simulación sin utilizar la computadora.Los modelos de simulación son mucho más flexibles en la representación de sistemas que sus equivalentes matemáticos. La razón principal es que la simulación considera al sistema a un nivel elemental, mientras que los modelos matemáticos tienden a representar al sistema desde un punto de vista más global3.2 MODELOS DE PRONÓSTICO DE UNA VARIABLEModelos de pronosticosEn la toma de decisiones tratamos con el diseño de planes futuros, De esta forma los datos que describen la situación de decisiones deben ser representativos de lo que ocurra en el futuro.Por ejemplo, en control de inventarios basamos nuestras decisiones en la naturaleza de la demanda del articulo controlado durante un horizonte de planeacion específico. Asimismo, en planezcion financiera, necesitamos predecir el patron del flujo de efectivo en el tiempo.Este capitulo presenta tres técnicas para pronosticar cambios futuros en el nivel de una variable deseada como función del tiempo:Promedio móvilSuavización exponencialRegresiónLos principales símbolos que se usan en este capitulo soyt = Valor real ( u observado) de la variable aleatoria en el periodo ty*t = Valor estimado de la variable aleatoria en el periodo tEt= Componente aleatorio (o ruido) en el periodo t3.3 MODELOS DE PRONÓSTICO CON DOS O MÁS VARIABLESLa suposición fundamental para esta técnica es que la serie de tiempo es estable, en el sentido de que sus datos se generan mediante el siguiente proceso constante:Donde b es un parámetro constante desconocido estimado a parir de los datos históricos. Se supone que el error aleatorio E1 tiene un valor esperado cero y una varianza constante. Además, los datos para los diferentes periodos no están correlacionados.La tecnica del promedio móvil supone que la n observaciones más recientes es igualmente importante en la estimación del parámetro b. Así en un periodo actual t, si los datos para la n periodos mas recientes sonNo hay una regla exacta para seleccionar la base del promedio móvil, n. Si las variaciones en la variable permanecen razonablemente constantes en el tiempo, se recomienda una n grande. De otra, forma se aconseja un valor de n pequeño si la variable muestra patrones cambiantes. En la práctica, el valor de n fluctúa entre 2 y 10MODELOS DE OPTIMIZACIÓNLa teoría de optimación clásica usa el cálculo diferencial en la determinación de los puntos de máximos y mínimos (extremos) para funciones con y sin restricciones. El método tal vez no sea el adecuado para cálculos numéricos eficientes. Sin embargo, la teoría que lo fundamenta proporciona las bases para diseñar la mayor parte de los algoritmos de programación lineal.Problemas no Restringidos.Un punto extremo de una función f(x) define un máximo o un mínimo de la función Matemáticamente, un punto XO = (X1….,Xj….,Xn) es un máximo siF(x0 + h) <_ h =" (h1,….,hj,….,hn)"> f(x0)La figura 20-1 ilustra los máximos y los mínimos de un a función de una sola variable f(x) sobre el intervalo (a,b) . Los puntos x1,x2,x3,x4, y x6 son todos extremos de f(x). Estos incluyen x1,x3 y x6 como máximo y x2 y x4 como mínimos. Como f(x6) = mas (f(x1), f(x3), f(x6))f(x6) se llama máximo global o absoluto y f(x1) y f(x3) son máximos globales o relativos. De manera similar, f(x4) es un mínimo local y f(x2) es un mínimo global.Aunque x1 es un punto máximo, diferente de los restantes máximos locales en que el valor de f, que corresponda al menos un punto en la vecindad de x1, es igual a f(x1). Al respecto, x1 se llama máximo débil comparado con x3; por ejemplo donde f(x3) define un máximo fuerte. Un máximo débil entonces implica (un numero infinito de) máximos alternativos. Es posible desarrollar resultados similares para el mínimo débil en x4. En general, x0 es un máximo débil si f(x0 + h)<>= f(x), para todo x factible. -f(x*) <= - f(x), para todo x factible. En consecuencia: x* es también mínimo de -f(x)2. Cada restricción del tipo <= puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de holgura no negativa, con coeficiente nulo en la función objetivo.3. Cada restricción del tipo >= puede ser llevada a una ecuación de igualdad usando una (nueva) variable de exceso no negativa, con coeficiente nulo en la función objetivo.4. Siempre es posible escribir una variable libre de signo como la diferencia de dos variables no negativas.6.2 METODO ALGEBRAICOPara resolver un problema de programación lineal por métodos algebraicos, se aplica el siguiente procedimiento operativo:· 1. Se definen las variables.· 2. Para cada restricción existente se escribe una inecuación lineal representativa.· 3. Se define la expresión matemática de la función objetivo.· 4. Se construyen sistemas cuadrados de ecuaciones a partir del conjunto inicial de inecuaciones lineales. Por ejemplo, si se tuvieran cuatro inecuaciones con dos incógnitas, se podrían construir seis sistemas distintos de ecuaciones lineales (sustituyendo la desigualdad por igualdad).· 5. Se resuelven todos estos sistemas y se anota el valor de los puntos obtenidos como solución.· 6. Se comprueban estos puntos en cada una de las inecuaciones. Los que cumplan todas las restricciones serán los vértices de la región factible.· 7. Se calcula el valor de la función objetivo para cada vértice.· 8. La solución óptima será aquella para la cual la función objetivo es máxima (o mínima, según el planteamiento del problema).