LICENCIATURA EN ADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS
MATERIA: POLITICAS PÚBLICAS PARA LOS NEGOCIOS
PROFESOR: ALEJANDRO ACOSTA PINEDA
NOMBRE DEL ALUMNA: MARÍA EUGENIA LEDESMA MENDOZA
FECHA DE ENTREGA: 23 DE MAYO DE 2009
Temario:
1. Conjuntos y Algebra de Conjuntos
1.1. Concepto.
El álgebra de conjuntos: define las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar con los conjuntos.
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones). Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los con juntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso.
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://www.fismat.umich.mx/~fhernandez/Cursos/Calculo07a/sets_cap3.pdf
1.2 Aplicaciones. Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Determinación de un conjunto por extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejemplo. - El conjunto de los números naturales menores que 9.
Determinación de un conjunto por comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.
Ejemplo. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.
Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Se puede obtener una descripción más detallada en la Teoría de conjuntos. Las aplicaciones de teoría de conjuntos es muy amplia, y baste con mencionar que se utiliza en el diseño de circuitos en electrónica digital; en cuestiones relacionadas con Probabilidad; incluso, sus conceptos están de manera implícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas.
Representación de un conjunto [editar]
Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {, y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:
A es Subconjunto de B
Unión de A y B
Intersección de A y B
Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.
Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.
La unión de una colección de conjuntos: es el conjunto de todos los elementos contenidos al menos una vez en los conjuntos y se representa:
La intersección de una colección de conjuntos: , es el conjunto de todos los elementos contenidos simultáneamente en todos los conjuntos: y se representa:
Los conjuntos también son nombrados según el número de elementos que tengan ejemplo conjunto vacío, conjunto unitario, conjunto finito, conjunto infinito. Algunos ejemplos de conjuntos de números son:
Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto.
Los números enteros
Los números racionales
Los números reales, que incluyen a los números irracionales
Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo: x2 + 1 = 0.
La teoría estadística se construye sobre la base de la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.
Relaciones entre conjuntos [editar]
Una categoría matemática consta de dos partes: los objetos y los morfismos. Cuando hablamos de la categoría de conjuntos, los objetos son los mismos conjuntos y un morfismo f entre dos objetos, digamos X, Y, en un tipo de relación entre X,Y dirigida i.e. un subconjunto del producto cartesiano de X con Y, en símbolos:
y ésta es una aplicación entre los conjuntos.
1.3 Operaciones
Unión de conjuntos : La unión de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
Intersección de conjuntos : La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B.
Complemento de un conjunto : Es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A.
Diferencia de conjuntos o complemento relativo : La diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez a B.
1.4 Ejercicios:
Entre los principales conjuntos numéricos tenemos los siguientes:
(conjunto de números naturales), (conjunto de números naturales sin el ), (conjunto de números enteros), (conjunto de números enteros sin el ), (conjunto de números racionales), (conjunto de números racionales sin el ), (conjunto de números reales), (conjunto de números reales estrictamente positivos), (conjunto de números reales sin el ), (conjunto de números complejos), (conjunto de números complejos sin el ).
También podemos considerar conjuntos no numéricos, por ejemplo, conjuntos de funciones:
(funciones reales de variable real), (funciones complejas de variable real), (funciones reales de variable compleja), (funciones complejas de variable compleja).
Dado un conjunto no vacío ( ) existen siempre dos subconjuntos de : el vacío y el propio . Al primero se le llama ``trivial" y al segundo ``impropio". Todos los demás (si es que existe alguno) se denominan ``propios no triviales".
http://www.satd.uma.es/matap/personal/garvin/05Alg01/node7.html
2 Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.
y transitiva.
Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.
2.1 Producto
Producto Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano AXB es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto A y cuya segunda componente pertenece al segundo conjunto B. En símbolos tenemos que:
AXB = ( x,y ) / x A x B
El producto cartesiano también recibe el nombre de Conjunto Producto. Es igual al conjunto vacío cuando por lo menos uno de los conjuntos es igual al conjunto vacío.
Ejemplos: Dados los conjuntos A = 1,2,3 y B = a, b }, determine: a) AXB , b) BXA , c) BXB .
Solución:
a) A X B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }
b) B X A = { (a,1) , (a,2) , (a,3) , (b,1), (b,2), (b,3) }
c) BXB = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b) } .
El producto cartesiano no es conmutativo, es decir, A X B ≠ B X A .
Relación Binaria.- Una relación de A en B, denotada R : A → B, es cualquier subconjunto R del producto cartesiano AXB . En una relación se distinguen : un primer conjunto A, llamado conjunto de partida, un segundo conjunto B, llamado conjunto de llegada, y un conjunto de pares ordenados R AXB , llamado conjunto solución. Una relación se puede especificar de las siguientes formas:
a) R= (A,B,R ), la cual es la definición dada.
b) R =( A, B, p (x,y) ), donde p(x,y) representa un enunciado formal o ley de correspondencia que deben cumplir los pares ordenados (x, y) R.
c) Un diagrama de Venn-Euler, en el cual los conjuntos se representan mediante óvalo dentro de los cuales se colocan los elementos de los conjuntos dados y se trazan flechas enlazando los elementos de cada par ordenado de R .
d) Un diagrama de coordenadas que es semejante a un sistema de coordenadas rectangulares, con la diferencia de que solamente se representan los elementos de los conjuntos dados separados a distancias iguales en un primer cuadrante. Los elementos del conjunto de partida se ubican en el ejehorizontal y los elementos del conjunto de llegada se ubican en el eje vertical. Se trazan perpendiculares a los ejes correspondientes a cada elemento y se marcan las intersecciones que corresponden a los pares ordenados de R.
Debemos aclarar que la variable X representa a cada elemento del conjunto de partida y la variable y representa a cada elemento del conjunto de llegada.
Imagen. Se dice que el segundo elemento de cada par ordenado de R es imagen del primero. Por ejemplo, si (2,5) e R , entonces 5 es imagen de 2.
Dominio de definición o dominio es el conjunto de los elementos del conjunto de partida que están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada. El dominio, que se denota D, es igual al conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de R
Dominio de imágenes o rango es el conjunto de los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. El rango, que se denota Di , es igual al conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de R.
Ejemplos:
1) Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A —> B la relación tal que "x + y 8” , determine: a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango, d) Diagrama de Venn-Euler y e) Diagrama de coordenadas.
Solución:
a) El conjunto solución es
R = { ( x , y) A X B / x + y 8 } = { ( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 ) } .
b) El dominio es D = { 2, 3, 4 } ; c) El rango es D1 = { 4, 6 }
d) El diagrama de Venn – Euler es:
A B
2.2 Función matemática
(Redirigido desde Aplicación matemática)
Saltar a navegación, búsqueda
Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.
En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada
que cumple con las siguientes dos condiciones:
Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
http://www.cescar.edu.do/Hojas%20Matematica.htm
2.3 Aplicaciones de la ecuación de la recta
Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta 3x-2y+4=0 y es paralela a la recta x-5y-1=0
Punto: corte OY recta 3x-2y+4=0. Haciendo tenemos que y por lo tanto . Nuestro punto es
Vector: paralela a x-5y-1=0 cuyo vector director es , que también será vector director de la recta que buscamos.
Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A( 5,-2) y B(3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P(2,1) y Q( -5, -3)
Punto: ,
Vector: si la recta es perpendicular a la recta que pasa por P y Q, el vector director de nuestra recta será perpendicular al vector PQ
Por lo tanto sus pendientes serán inversas y con el signo cambiado. Si , la pendiente de la recta que buscamos será
En forma punto-pendiente la recta incógnita será:
Quitando denominadores, paréntesis y transponiendo términos llegamos a la solución:
Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 6 unidades cuadradas
La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b . Siendo (a,0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.
En nuestro caso .Entonces y .
Utilizando la forma segmentaría la ecuación de la recta es
Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0
El vector director se s es (2, 3), y su pendiente .
El vector director de r es (5B, 2), y su pendiente
Si r y s son perpendiculares . Por lo tanto:
y nuestra recta queda
Como el punto pertenece a la recta se cumple que: Por lo que
Y la recta incógnita será
2.4 Operaciones
a) f (o) = 3 (o) + 5 = 5
b) f (-2)= +3 (-2)+5 = -6+5=-1
c) f (a+b)= 3(a+b)+5=3ª+3b+5
f(x)=x2 -9 7 a) f (o)= (o)2 -9 ; b) f (-2)=(-2)2 – 9= 4-9= -5; c) f(a+b)= (a+b)2 – 9= a2 + 2ab+ b2-9
2.5 Tipos de funciones
Clasificación de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x - 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x - y - 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
3. Polinomios
3.1 Definición y Clasificación
Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:
por ejemplo:
Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.
Definición algebraica
Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.
3.2 Partiendo de un polinomio P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de x, x= b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para x= b.
En el caso general:
tomará un valor para x = b, de:
Ejemplo: Dado el polinomio:
Cuál es su valor para x= 2, sustituyendo x por su valor, tenemos:
Con el resultado de:
3.3 Las funciones polinómicas de una variable (x), se corresponden con diversas curvas planas, que se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas XY.
Polinomio de grado 2:f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2)
Polinomio de grado 3:f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio de grado 4:f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Polinomio de grado 5:f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2
La función
es un ejemplo de función polinómica con coeficiente principal 13 y una constante de 3.
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
3.4 Productos Notables
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura),
que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo
agrupando términos:
luego:
Producto de dos binomios conjugados
Producto de binomios conjugados
Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo
agrupando términos:
Polinomio al cuadrado
Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo
multiplicando los monomios:
agrupando términos:
luego:
Binomio al cubo o cubo de un binomio
Descomposición volumétrica del binomio al cubo
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo
agrupando términos:
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejemplo
agrupando términos:
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:
Suma de cubos
Resta de cubos
Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:
Suma de potencias n-ésimas
Aunque la fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar.
Diferencia de potencias n-ésimas
Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
4. Sistema de Ecuaciones Simultáneas
En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.
4.1 Método suma y resta
El método de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de encontrar una ecuación lineal con una incógnita. Por ejemplo:
Resolver el sistema
2x+ 3y = 13 (1)
-2x+ 2y = -18 (2)
El coeficiente de x, es decir, el numero que lo multiplica, en las dos ecuaciones, es igual pero de signo contrario.
Como las ecuaciones son igualdades, se pueden sumar miembro a miembro como sigue:
2x + 3y = -8
+ 2x + 2y = -18
0 + 5y = -5
El resultado es una ecuación lineal con una sola incógnita, que se resuelve así:
5y = -5 y = -1
Si se sustituye el valor el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales, se encuentra el valor de x. Por ejemplo la ecuación (1):
2x + 3(-1) = 13 2x - 3 = 13 2x = 16 x = 8
La solución del sistema de ecuaciones es la pareja x = 8 y y = -1.
Si una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones de un sistema, éstas se restan para eliminar la incógnita. Por ejemplo:
4x + 9y = -8 (1)
3x + 9y = -15 (2)
Como la incógnita y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, éstas se restan miembro a miembro:
4x + 9y = -8 (1)
-3x + 9y = -15 (2)
x + 0 = 7
Entonces x = 7. Si se sustituye este valor en la ecuación (1), se obtiene el valor de y:
4(7) + 9y = -8 28 + 9y = -8 9y = -8 - 28 y = (-8 - 28) = -36 = -4
· 9
La solución del sistema es la pareja x = 7 y y = -4.
Si en un sistema de ecuaciones ninguna de las dos incógnitas tiene el mismo coeficiente, las ecuaciones se transforman por medio de multiplicaciones.
4.2 Método de sustitución
Los pasos para encontrar la solución de este sistema son los siguientes:
Se despeja y en una ecuación; por ejemplo, en la (2):
Y = 2 - x
De esta forma, se obtiene y expresada en función de x.
En la ecuación (1), se sustituye y por su expresión en términos de x y se despeja x:
3x - 2 (2 - x) = 1
3x - 4 + 2x = 1
5x - 4 = 1
5x = 1 + 4
5x = 5
x = 1
Se sustituye el valor de x, determinado mediante el paso anterior, en la ecuación obtenida al despejar y en el paso A):
Y = 2 - (1)
Y = 1
De modo que x = 1 y y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones.
4.3 Método de igualación
Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones
Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para obtener una ecuación lineal con una incógnita. Cuando esta ecuación es resuelta, se encuentra el valor de una incógnita.
Se sustituye el valor de la incógnita determinado mediante el paso anterior en alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; así se obtiene el valor de la otra incógnita.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) ,x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":22 - 2y = (7 + y) / 4Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:88 - 8y = 7 + y-9y = -81y = 9Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),x = 22 - 2(9)x = 4por tanto: x = 4; y = 9.
5. Matrices
5.1 Definición de matriz: Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
5.2 Operaciones con matrices
Suma
Para sumar dos matrices tienen que tener las mismas dimensiones. Para sumar dos matrices se suman los elementos que ocupan las mismas posiciones
<>
Producto de un número por una matriz.
Para multiplicar un numero por una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por el número.
Producto de matrices
Para multiplicar dos matrices es indispensable que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
Transpuesta de una matriz
Dada una matriz, su traspuesta es la formada al disponer la fila 1 como columna 1, la fila 2 como columna 2... la fila n como columna n.
La traspuesta de la matriz A se designa por tA
Determinantes
El determinante de la matriz A se designa por A
<>
El determinante de esta matriz es a11× a22 - a12× a21
<>
El determinante de esta matriz es a11× a22× a33 + a21× a32× a13 + a31× a12× a23 - a13× a22× a31 - a23× a32× a11 - a33× a21× a12
Propiedades de los determinantes
Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. A = tA.
Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.
Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero.
Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero.
Si descomponemos en dos sumandos cada numero de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la matriz original.
Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.
Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varia.
Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varíe.
Menor complementario
Menor complementario del elemento aij es el determinante de la matriz formada al suprimir la fila y la columna en la que esta el elemento aij.
El menor complementario de aij es aij.
Adjunto de un elemento
Es el determinante de la matriz formada aplicando esta fórmula (-1)i+jaij.
5.3 Matriz inversa
La matriz inversa de A se designa por A-1
Para calcular la inversa de una matriz, primero se calcula su determinante. Si el determinante es cero la matriz no tiene inversa.
A continuación se calculan los adjuntos de cada elemento de la matriz.
Después se divide cada adjunto por el determinante de la matriz.
Después se forma la matriz poniendo los valores obtenidos correspondientes a la posición i.e. en la posición huí
Vamos a calcular la inversa de la matriz
<>
El determinante es 5 y la inversa
<>
Menor de una matriz
Dada una matriz, se puede obtener, suprimiendo algunas filas y columnas, otras matrices que se llaman submatrices. Si la submatriz es cuadrada y tiene k filas (también tendrá k columnas), a su determinante se llama menor de orden k de la matriz dada.
Si el menor de orden k es distinto de cero, y todos los menores de orden k + 1 son cero, o no existen, a ese menor se llama menor principal de orden k.
Rango de una matriz
El rango de una matriz A es el número natural k si k es el orden del mayor menor de la matriz A.
Vectores propios y valores propios
Un vector X (distinto de cero) es un vector propio de la matriz A si se cumple AX =lX. El número l se llama valor propio. Los vectores propios también se llaman autovectores y los valores propios autovalores.
Desarrollando la expresión AX =lX obtenemos el sistema:
(a11 - l)x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + (a22- l)x2 + ... + a2nxn = 0
..........................................
an1x1 + an2x2 + ... + (ann- l)xn = 0
5.4 Tipos de Matrices
Cuando el número de filas es igual al de columnas (n = m) la matriz se llama matriz cuadrada.
Cuando n = 1 la matriz se llama matriz fila.
Cuando m = 1 la matriz se llama matriz columna.
Las matrices fila y columna se llaman habitualmente vectores.
Cuando en una matriz cuadrada son ceros todos los elementos que no estan en la diagonal principal (la que va desde el angulo superior izquierdo al angulo inferior derecho) la matriz se llama matriz diagonal.
Si una matriz diagonal tiene todos los terminos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.
Si una matriz diagonal tiene todos los terminos de la diagonal iguales a 1 se llama matriz unidad.
Las matrices cuadradas en las que aij = 0 siempre que i > j o bien aij = 0 siempre que i < j se llaman matrices triangulares
MATERIA: POLITICAS PÚBLICAS PARA LOS NEGOCIOS
PROFESOR: ALEJANDRO ACOSTA PINEDA
NOMBRE DEL ALUMNA: MARÍA EUGENIA LEDESMA MENDOZA
FECHA DE ENTREGA: 23 DE MAYO DE 2009
Temario:
1. Conjuntos y Algebra de Conjuntos
1.1. Concepto.
El álgebra de conjuntos: define las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar con los conjuntos.
Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto (aunque cualquier definición dada esconde implícitamente paradojas lógicas o contradicciones). Por objeto entenderemos no sólo entes físicos, como mesas, sillas, etc., sino también entes abstractos, como son números, letras, etc. La relación de pertenencia entre los elementos y los con juntos siempre es perfectamente discernible, en otras palabras, si un objeto pertenece a un conjunto o no, siempre puede calificarse como verdadero o falso.
http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
http://www.fismat.umich.mx/~fhernandez/Cursos/Calculo07a/sets_cap3.pdf
1.2 Aplicaciones. Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.
Determinación de un conjunto por extensión
Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.
Ejemplo. - El conjunto de los números naturales menores que 9.
Determinación de un conjunto por comprensión
Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos.
Ejemplo. - El conjunto formado por las letras vocales del abecedario.
Dos conjuntos son iguales si, y sólo si, contienen los mismos objetos. Se puede obtener una descripción más detallada en la Teoría de conjuntos. Las aplicaciones de teoría de conjuntos es muy amplia, y baste con mencionar que se utiliza en el diseño de circuitos en electrónica digital; en cuestiones relacionadas con Probabilidad; incluso, sus conceptos están de manera implícita en la terminología utilizada en diseño de bases de datos, cuando se realizan las consultas.
Representación de un conjunto [editar]
Los conjuntos son uno de los conceptos básicos de la matemática. Como ya se ha dicho, un conjunto es, más o menos, una colección de objetos, denominados elementos. La notación estándar utiliza llaves {, y } alrededor de la lista de elementos para indicar el contenido del conjunto, como por ejemplo:
A es Subconjunto de B
Unión de A y B
Intersección de A y B
Las tres líneas anteriores denotan el mismo conjunto. Como puede verse, es posible describir el mismo conjunto de diferentes maneras: Bien dando un listado de sus elementos (lo mejor para conjuntos finitos pequeños) o bien dando una propiedad que defina todos sus elementos. Por otro lado, no importa el orden, ni cuantas veces aparezcan en la lista sus elementos.
Si A y B son dos conjuntos y todo elemento x de A está contenido también en B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Todo conjunto tiene como subconjunto a sí mismo y al conjunto vacío, {}.
La unión de una colección de conjuntos: es el conjunto de todos los elementos contenidos al menos una vez en los conjuntos y se representa:
La intersección de una colección de conjuntos: , es el conjunto de todos los elementos contenidos simultáneamente en todos los conjuntos: y se representa:
Los conjuntos también son nombrados según el número de elementos que tengan ejemplo conjunto vacío, conjunto unitario, conjunto finito, conjunto infinito. Algunos ejemplos de conjuntos de números son:
Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto.
Los números enteros
Los números racionales
Los números reales, que incluyen a los números irracionales
Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo: x2 + 1 = 0.
La teoría estadística se construye sobre la base de la teoría de conjuntos y la teoría de la probabilidad.
Relaciones entre conjuntos [editar]
Una categoría matemática consta de dos partes: los objetos y los morfismos. Cuando hablamos de la categoría de conjuntos, los objetos son los mismos conjuntos y un morfismo f entre dos objetos, digamos X, Y, en un tipo de relación entre X,Y dirigida i.e. un subconjunto del producto cartesiano de X con Y, en símbolos:
y ésta es una aplicación entre los conjuntos.
1.3 Operaciones
Unión de conjuntos : La unión de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
Intersección de conjuntos : La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B.
Complemento de un conjunto : Es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A.
Diferencia de conjuntos o complemento relativo : La diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez a B.
1.4 Ejercicios:
Entre los principales conjuntos numéricos tenemos los siguientes:
(conjunto de números naturales), (conjunto de números naturales sin el ), (conjunto de números enteros), (conjunto de números enteros sin el ), (conjunto de números racionales), (conjunto de números racionales sin el ), (conjunto de números reales), (conjunto de números reales estrictamente positivos), (conjunto de números reales sin el ), (conjunto de números complejos), (conjunto de números complejos sin el ).
También podemos considerar conjuntos no numéricos, por ejemplo, conjuntos de funciones:
(funciones reales de variable real), (funciones complejas de variable real), (funciones reales de variable compleja), (funciones complejas de variable compleja).
Dado un conjunto no vacío ( ) existen siempre dos subconjuntos de : el vacío y el propio . Al primero se le llama ``trivial" y al segundo ``impropio". Todos los demás (si es que existe alguno) se denominan ``propios no triviales".
http://www.satd.uma.es/matap/personal/garvin/05Alg01/node7.html
2 Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: propiedad reflexiva, simétrica y transitiva.
y transitiva.
Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde sólo un elemento del conjunto de llegada.
2.1 Producto
Producto Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano AXB es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto A y cuya segunda componente pertenece al segundo conjunto B. En símbolos tenemos que:
AXB = ( x,y ) / x A x B
El producto cartesiano también recibe el nombre de Conjunto Producto. Es igual al conjunto vacío cuando por lo menos uno de los conjuntos es igual al conjunto vacío.
Ejemplos: Dados los conjuntos A = 1,2,3 y B = a, b }, determine: a) AXB , b) BXA , c) BXB .
Solución:
a) A X B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }
b) B X A = { (a,1) , (a,2) , (a,3) , (b,1), (b,2), (b,3) }
c) BXB = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b) } .
El producto cartesiano no es conmutativo, es decir, A X B ≠ B X A .
Relación Binaria.- Una relación de A en B, denotada R : A → B, es cualquier subconjunto R del producto cartesiano AXB . En una relación se distinguen : un primer conjunto A, llamado conjunto de partida, un segundo conjunto B, llamado conjunto de llegada, y un conjunto de pares ordenados R AXB , llamado conjunto solución. Una relación se puede especificar de las siguientes formas:
a) R= (A,B,R ), la cual es la definición dada.
b) R =( A, B, p (x,y) ), donde p(x,y) representa un enunciado formal o ley de correspondencia que deben cumplir los pares ordenados (x, y) R.
c) Un diagrama de Venn-Euler, en el cual los conjuntos se representan mediante óvalo dentro de los cuales se colocan los elementos de los conjuntos dados y se trazan flechas enlazando los elementos de cada par ordenado de R .
d) Un diagrama de coordenadas que es semejante a un sistema de coordenadas rectangulares, con la diferencia de que solamente se representan los elementos de los conjuntos dados separados a distancias iguales en un primer cuadrante. Los elementos del conjunto de partida se ubican en el ejehorizontal y los elementos del conjunto de llegada se ubican en el eje vertical. Se trazan perpendiculares a los ejes correspondientes a cada elemento y se marcan las intersecciones que corresponden a los pares ordenados de R.
Debemos aclarar que la variable X representa a cada elemento del conjunto de partida y la variable y representa a cada elemento del conjunto de llegada.
Imagen. Se dice que el segundo elemento de cada par ordenado de R es imagen del primero. Por ejemplo, si (2,5) e R , entonces 5 es imagen de 2.
Dominio de definición o dominio es el conjunto de los elementos del conjunto de partida que están relacionados con algún elemento del conjunto de llegada. El dominio, que se denota D, es igual al conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de R
Dominio de imágenes o rango es el conjunto de los elementos del conjunto de llegada que están relacionados con algún elemento del conjunto de partida. El rango, que se denota Di , es igual al conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de R.
Ejemplos:
1) Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A —> B la relación tal que "x + y 8” , determine: a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango, d) Diagrama de Venn-Euler y e) Diagrama de coordenadas.
Solución:
a) El conjunto solución es
R = { ( x , y) A X B / x + y 8 } = { ( 2, 4 ) ( 2, 6 ) , ( 3, 4 ), ( 4, 4 ) } .
b) El dominio es D = { 2, 3, 4 } ; c) El rango es D1 = { 4, 6 }
d) El diagrama de Venn – Euler es:
A B
2.2 Función matemática
(Redirigido desde Aplicación matemática)
Saltar a navegación, búsqueda
Función de X en Y: la condición de existencia asegura que de cada elemento sale alguna flecha y la de unicidad que sólo sale una.
En Matemáticas, dados dos conjuntos X e Y, una función o aplicación de X en Y es una correspondencia matemática denotada
que cumple con las siguientes dos condiciones:
Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y, es decir,
Condición de unicidad: Cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y, es decir, si
Una función es un caso particular de relación y de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento con un (y sólo un) se denota , en lugar de
http://www.cescar.edu.do/Hojas%20Matematica.htm
2.3 Aplicaciones de la ecuación de la recta
Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto de corte con el eje OY de la recta 3x-2y+4=0 y es paralela a la recta x-5y-1=0
Punto: corte OY recta 3x-2y+4=0. Haciendo tenemos que y por lo tanto . Nuestro punto es
Vector: paralela a x-5y-1=0 cuyo vector director es , que también será vector director de la recta que buscamos.
Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto medio del segmento AB, con A( 5,-2) y B(3, -6) y es perpendicular a la recta que pasa por P(2,1) y Q( -5, -3)
Punto: ,
Vector: si la recta es perpendicular a la recta que pasa por P y Q, el vector director de nuestra recta será perpendicular al vector PQ
Por lo tanto sus pendientes serán inversas y con el signo cambiado. Si , la pendiente de la recta que buscamos será
En forma punto-pendiente la recta incógnita será:
Quitando denominadores, paréntesis y transponiendo términos llegamos a la solución:
Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto (0, 3) sabiendo que el área del triángulo que forma la recta con los ejes de coordenadas es de 6 unidades cuadradas
La recta forma con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo de catetos a y b . Siendo (a,0) y (0, b) los puntos de corte con los ejes.
En nuestro caso .Entonces y .
Utilizando la forma segmentaría la ecuación de la recta es
Calcula el valor de los parámetros B y C en la recta de ecuación r: 2x-5By+C=0 sabiendo que la recta pasa por el punto (3, -2) y que es perpendicular a la recta s: 3x-2y+1=0
El vector director se s es (2, 3), y su pendiente .
El vector director de r es (5B, 2), y su pendiente
Si r y s son perpendiculares . Por lo tanto:
y nuestra recta queda
Como el punto pertenece a la recta se cumple que: Por lo que
Y la recta incógnita será
2.4 Operaciones
a) f (o) = 3 (o) + 5 = 5
b) f (-2)= +3 (-2)+5 = -6+5=-1
c) f (a+b)= 3(a+b)+5=3ª+3b+5
f(x)=x2 -9 7 a) f (o)= (o)2 -9 ; b) f (-2)=(-2)2 – 9= 4-9= -5; c) f(a+b)= (a+b)2 – 9= a2 + 2ab+ b2-9
2.5 Tipos de funciones
Clasificación de funciones
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x - 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x - y - 2 = 0
Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx +n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx +c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
http://www.vitutor.com/fun/2/c_1.html
3. Polinomios
3.1 Definición y Clasificación
Polinomio, en matemáticas, se denomina a la suma de varios monomios, llamados términos del polinomio. Es una expresión algebraica constituida por una o más variables, utilizando solamente operaciones de adición, sustracción, multiplicación y exponentes numéricos positivos. El polinomio de un sólo término se denomina monomio, el de dos binomio, el de tres trinomio.
La expresión general de los polinomios que sólo tienen una variable, los más utilizados, es:
por ejemplo:
Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen.
Definición algebraica
Para a0, …, an constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como o , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con an distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma
El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como
Las constantes a0, …, an se llaman los coeficientes del polinomio. A a0 se le llama el coeficiente constante y a an, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.
3.2 Partiendo de un polinomio P(x), el cálculo del valor numérico que ese polinomio toma para un valor concreto de x, x= b, se obtiene sustituyendo la variable x del polinomio por el valor b y se realizan las operaciones. El resultado de P(b) es valor numérico del polinomio para x= b.
En el caso general:
tomará un valor para x = b, de:
Ejemplo: Dado el polinomio:
Cuál es su valor para x= 2, sustituyendo x por su valor, tenemos:
Con el resultado de:
3.3 Las funciones polinómicas de una variable (x), se corresponden con diversas curvas planas, que se pueden representar en un sistema de coordenadas cartesianas XY.
Polinomio de grado 2:f(x) = x2 - x - 2= (x+1)(x-2)
Polinomio de grado 3:f(x) = x3/5 + 4x2/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio de grado 4:f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5
Polinomio de grado 5:f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2
La función
es un ejemplo de función polinómica con coeficiente principal 13 y una constante de 3.
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio
3.4 Productos Notables
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.
Factor común
Representación gráfica de la regla de factor común
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura),
que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb).
Ejemplo
Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio
Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir:
un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:
En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.
Ejemplo
simplificando:
Producto de dos binomios con un término común
Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes.
Ejemplo
agrupando términos:
luego:
Producto de dos binomios conjugados
Producto de binomios conjugados
Dos binomios que sólo se diferencien en el signo de la operación se denominan binomios conjugados. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados
Ejemplo
agrupando términos:
Polinomio al cuadrado
Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica
Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos.
Ejemplo
multiplicando los monomios:
agrupando términos:
luego:
Binomio al cubo o cubo de un binomio
Descomposición volumétrica del binomio al cubo
Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo
agrupando términos:
Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.
Ejemplo
agrupando términos:
Identidad de Argand
Identidades de Gauss
Identidades de Legendre
Identidades de Lagrange
Otras identidades
Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:
Suma de cubos
Resta de cubos
Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (constrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).
La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:
Suma de potencias n-ésimas
Aunque la fórmula anterior sólo es válida cuando n es impar.
Diferencia de potencias n-ésimas
Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio
http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
4. Sistema de Ecuaciones Simultáneas
En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.
4.1 Método suma y resta
El método de suma y resta consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de un sistema para eliminar una de las variables, a fin de encontrar una ecuación lineal con una incógnita. Por ejemplo:
Resolver el sistema
2x+ 3y = 13 (1)
-2x+ 2y = -18 (2)
El coeficiente de x, es decir, el numero que lo multiplica, en las dos ecuaciones, es igual pero de signo contrario.
Como las ecuaciones son igualdades, se pueden sumar miembro a miembro como sigue:
2x + 3y = -8
+ 2x + 2y = -18
0 + 5y = -5
El resultado es una ecuación lineal con una sola incógnita, que se resuelve así:
5y = -5 y = -1
Si se sustituye el valor el valor de y en cualquiera de las ecuaciones originales, se encuentra el valor de x. Por ejemplo la ecuación (1):
2x + 3(-1) = 13 2x - 3 = 13 2x = 16 x = 8
La solución del sistema de ecuaciones es la pareja x = 8 y y = -1.
Si una incógnita tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones de un sistema, éstas se restan para eliminar la incógnita. Por ejemplo:
4x + 9y = -8 (1)
3x + 9y = -15 (2)
Como la incógnita y tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones, éstas se restan miembro a miembro:
4x + 9y = -8 (1)
-3x + 9y = -15 (2)
x + 0 = 7
Entonces x = 7. Si se sustituye este valor en la ecuación (1), se obtiene el valor de y:
4(7) + 9y = -8 28 + 9y = -8 9y = -8 - 28 y = (-8 - 28) = -36 = -4
· 9
La solución del sistema es la pareja x = 7 y y = -4.
Si en un sistema de ecuaciones ninguna de las dos incógnitas tiene el mismo coeficiente, las ecuaciones se transforman por medio de multiplicaciones.
4.2 Método de sustitución
Los pasos para encontrar la solución de este sistema son los siguientes:
Se despeja y en una ecuación; por ejemplo, en la (2):
Y = 2 - x
De esta forma, se obtiene y expresada en función de x.
En la ecuación (1), se sustituye y por su expresión en términos de x y se despeja x:
3x - 2 (2 - x) = 1
3x - 4 + 2x = 1
5x - 4 = 1
5x = 1 + 4
5x = 5
x = 1
Se sustituye el valor de x, determinado mediante el paso anterior, en la ecuación obtenida al despejar y en el paso A):
Y = 2 - (1)
Y = 1
De modo que x = 1 y y = 1 es la solución del sistema de ecuaciones.
4.3 Método de igualación
Se escoge una incógnita y se despeja en ambas ecuaciones
Se igualan las ecuaciones lineales encontradas en el paso anterior para obtener una ecuación lineal con una incógnita. Cuando esta ecuación es resuelta, se encuentra el valor de una incógnita.
Se sustituye el valor de la incógnita determinado mediante el paso anterior en alguna de las ecuaciones resultantes del primer paso; así se obtiene el valor de la otra incógnita.
Ejemplo: Sea resolver el sistema:x + 2y = 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1),4x - y = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2).Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2); se tiene:x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3) ,x = (7 + y) / 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . (4).Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":22 - 2y = (7 + y) / 4Dése forma entera, o sea, quítense los denominadores, luego resuélvase:88 - 8y = 7 + y-9y = -81y = 9Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":x = 22 - 2y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3),x = 22 - 2(9)x = 4por tanto: x = 4; y = 9.
5. Matrices
5.1 Definición de matriz: Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
5.2 Operaciones con matrices
Suma
Para sumar dos matrices tienen que tener las mismas dimensiones. Para sumar dos matrices se suman los elementos que ocupan las mismas posiciones
<>
Producto de un número por una matriz.
Para multiplicar un numero por una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por el número.
Producto de matrices
Para multiplicar dos matrices es indispensable que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz.
Transpuesta de una matriz
Dada una matriz, su traspuesta es la formada al disponer la fila 1 como columna 1, la fila 2 como columna 2... la fila n como columna n.
La traspuesta de la matriz A se designa por tA
Determinantes
El determinante de la matriz A se designa por A
<>
El determinante de esta matriz es a11× a22 - a12× a21
<>
El determinante de esta matriz es a11× a22× a33 + a21× a32× a13 + a31× a12× a23 - a13× a22× a31 - a23× a32× a11 - a33× a21× a12
Propiedades de los determinantes
Los determinantes de una matriz y de su traspuesta son iguales. A = tA.
Si en una matriz se intercambian de posición dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Si se multiplican todos los elementos de una fila (o de una columna) por un número, el determinante queda multiplicado por ese número.
Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son iguales, el determinante es cero.
Si dos filas (o dos columnas) de una matriz son proporcionales, el determinante es cero.
Si descomponemos en dos sumandos cada numero de una fila (o de una columna) de una matriz, la suma de los determinantes de las dos matrices obtenidas con la descomposición en sumandos, es igual al determinante de la matriz original.
Si una fila (o columna) es combinación lineal de las otras filas (o columnas) de una matriz, el determinante es cero.
Si cambiamos una fila (o una columna) por la obtenida por la suma de esa fila más el producto de otra fila (o columna) por una constante, el determinante no varia.
Se pueden hacer transformaciones, siguiendo las reglas anteriores, en una matriz, de tal forma que, todos los elementos de una fila (o columna) sean ceros y el determinante no varíe.
Menor complementario
Menor complementario del elemento aij es el determinante de la matriz formada al suprimir la fila y la columna en la que esta el elemento aij.
El menor complementario de aij es aij.
Adjunto de un elemento
Es el determinante de la matriz formada aplicando esta fórmula (-1)i+jaij.
5.3 Matriz inversa
La matriz inversa de A se designa por A-1
Para calcular la inversa de una matriz, primero se calcula su determinante. Si el determinante es cero la matriz no tiene inversa.
A continuación se calculan los adjuntos de cada elemento de la matriz.
Después se divide cada adjunto por el determinante de la matriz.
Después se forma la matriz poniendo los valores obtenidos correspondientes a la posición i.e. en la posición huí
Vamos a calcular la inversa de la matriz
<>
El determinante es 5 y la inversa
<>
Menor de una matriz
Dada una matriz, se puede obtener, suprimiendo algunas filas y columnas, otras matrices que se llaman submatrices. Si la submatriz es cuadrada y tiene k filas (también tendrá k columnas), a su determinante se llama menor de orden k de la matriz dada.
Si el menor de orden k es distinto de cero, y todos los menores de orden k + 1 son cero, o no existen, a ese menor se llama menor principal de orden k.
Rango de una matriz
El rango de una matriz A es el número natural k si k es el orden del mayor menor de la matriz A.
Vectores propios y valores propios
Un vector X (distinto de cero) es un vector propio de la matriz A si se cumple AX =lX. El número l se llama valor propio. Los vectores propios también se llaman autovectores y los valores propios autovalores.
Desarrollando la expresión AX =lX obtenemos el sistema:
(a11 - l)x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + (a22- l)x2 + ... + a2nxn = 0
..........................................
an1x1 + an2x2 + ... + (ann- l)xn = 0
5.4 Tipos de Matrices
Cuando el número de filas es igual al de columnas (n = m) la matriz se llama matriz cuadrada.
Cuando n = 1 la matriz se llama matriz fila.
Cuando m = 1 la matriz se llama matriz columna.
Las matrices fila y columna se llaman habitualmente vectores.
Cuando en una matriz cuadrada son ceros todos los elementos que no estan en la diagonal principal (la que va desde el angulo superior izquierdo al angulo inferior derecho) la matriz se llama matriz diagonal.
Si una matriz diagonal tiene todos los terminos de la diagonal iguales se llama matriz escalar.
Si una matriz diagonal tiene todos los terminos de la diagonal iguales a 1 se llama matriz unidad.
Las matrices cuadradas en las que aij = 0 siempre que i > j o bien aij = 0 siempre que i < j se llaman matrices triangulares
No hay comentarios:
Publicar un comentario